原文自博客发布平台medium，作者为 Frank Zielen，传送门
质数构成了现代密码学的基础。而其中的原因很简单：直到现在我们还不清楚质数的数学性质规律。然而，通过分解质数，我们发现世界会发生巨大的变化。在这篇文章当中，我会介绍一些关于素数鲜为人知但十分有趣的特性，而且这些特性会改变你对密码学的看法。还有别担心，我会以通俗易懂的方式来介绍给大家的。
刷新认识和找到动机
让我们来回顾一下：质数是指只能被1和它本身整除的整数。例如，5是质数（被1和5整除），但6不是（能够被1，2，3和6整除）。
质数有无数个并且到此为止都没有明确的算法能够准确求得质数。而且，也没有公式去求得第n个质数。即使知道前面的质数也没法通过递归来求得。也没有明确的方法，所以即便不清楚前面的质数，我们也可以计算得出接下来的质数。
正因如此，这使得著名的 RSA 加密如此的安全。它的加密的公钥是通过两个非常大的质数的乘积得出的。这样的话，如果你想导出所需要解密的密钥，“只需要”知道这两个质数的乘积即可。但是，在目前找出这两个质数这需要花费大量的计算时间，所以 RSA 在当前是无法破解的。
但是，如果我们现在发现一条公式来计算质数的话会怎么样呢？我想这会意味着可能产生能够快速破解质数的方法，这对于当前的大多数密码系统来说意味着死刑。但是真的有可能找到这种公式吗？
神奇的欧拉乘积
Leonhard Euler（莱昂哈德 欧拉）是世界上最杰出的数学家之一。在18世纪，他得出了一条今天被称为“欧拉乘积”的公式。在这里，我们把焦点关注在这个发现的一个特殊的例子上吧。提醒一下，即使下一行看起来像是象形文字，也请你不要停止阅读。
让我们来对此进行翻译：等式左边的符号我们表示为乘积。此外，它也代表所有质数的无穷乘积，即我们需要用所有的质数来替换p并且得到它们的乘积。让我们把这清楚地写在下面。
这表示：如果我们计算以上所有质数的乘积，我们就能够得到一个被预定的结果 pi^2/6。这非常地酷但是看起来不太寻常。那请让我来告诉您当中的原因吧。
破坏性结论
我们知道有无限的质数存在，但是我们并没有接近和有效的表示质数的公式。但有了计算能力，我们可以确定已知的最大质数了。尽管如此，欧拉也证明了，我们没法知道所有的质数，但如果我们根据欧拉乘积将所有质数相乘，将会得到pi^2/6。
恕我直言，这并没有表明到目前为止我们能发现非常多关于质数的知识。如果我们能够在无穷多的质数上计算出欧拉公式，那么我们应该也能通过此导出关于质数的公式。例如，对于一些特殊的质数来说，相近的表达方式是已知的。
这表示我们现在必须加大对数字理论研究的脚步了，以此来发现质数更多的自然规律，并且在这个问题上苦苦研究的人们也会因此感受到快乐和迷惑吧。
结尾
我曾今问过自己这种书呆子一样的问题是否能够吸引到读者。我是一个数论爱好者，但是，这不是我日常的工作所以我会仔细观看大家的评论。如果你想进一步了解有关数论的知识，请告诉我，也许后续我会写一篇相关的文章。